Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie

Der Abstand zweier Punkte mit den kartesischen Koordinaten und ist normalerweise durch

gegeben. Diese Beziehung sagt etwas über die Geometrie des zugrundeliegenden (dreidimensionalen) Raumes aus: Er ist euklidisch.

Wie sich herausgestellt hat, besitzt die Spezielle Relativitätstheorie eine besonders einfache Struktur, wenn man den vierdimensionalen Minkowski-Raum zugrunde legt, der durch

gekennzeichnet ist. Dabei steht für den zeitlichen Abstand zweier ,,Ereignisse`` (d.h. Punkte im Minkowski-Raum). Seine Bedeutung gründet auf der Tatsache, daß die Bewegungsgleichungen in der Speziellen Relativitätstheorie gerade unter den Koordinatentransformationen invariant sind, die invariant lassen. Die Zeit ist hier keine absolute Größe mehr (wie noch in der Newtonschen Theorie), man spricht von einer vierdimensionalen ,,Raumzeit``.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) wird dieser Raum verallgemeinert auf

Die Koeffizienten , die sogenannte (Raumzeit-) Metrik, kann dabei als symmetrische 4 x 4 - Matrix verstanden werden, die nicht entartet ist und die Signatur (+++) hat. Im allgemeinen benötigt man für die Beschreibung eines solchen Raums mehrere Koordinatensysteme, er ist topologisch gesprochen eine zusammenhängende Hausdorffsche Mannigfaltigkeit. Im Gegensatz zum Minkowski-Raum kann ein solcher Raum beliebig ,,gekrümmt`` sein (näheres im ersten Abschnitt). Die noch zu besprechenden Bewegungsgleichungen sollen dabei wie das Linienelement unter allen Koordinatentransformationen invariant sein. Diese Unabhängigkeit vom zugrundegelegten Koordinatensystem wird als allgemeines Kovarianzprinzip bezeichnet.

Die eigentliche physikalische Idee der ART liegt nun darin, daß der durch beschriebene Raum dynamisch mit der Materie in ihm verknüpft ist, d.h. die Materie ,,krümmt`` den Raum und bewegt sich ihrerseits auf ausgezeichneten Bahnen des Raums. Um diese Idee mathematisch formulieren zu können, müssen vorher einige Grundzüge der Riemannschen Geometrie angesprochen werden. Mit deren Hilfe kann man die geometrischen Eigenschaften eines Raums intrinsisch, d.h. ohne Bezugnahme auf einen einbettenden ,,Superraum``, beschreiben.

Grundzüge der Riemannschen Geometrie

Die mathematischen Größen, die dem Prinzip der Kovarianz gerecht werden, sind die Tensoren. Wenn V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und der duale Vektorraum ist, so ist ein Tensor T vom Typ eine multilineare Abbildung

Dabei stellt V den Tangentialraum an der Raumzeit-Mannigfaltigkeit und den Kotangentialraum dar. Die Größe k + l definiert man als den Rang des Tensors. Die Komponenten eines solchen Tensors sind die Entwicklungskoeffizienten von T bezüglich einer bestimmten Basis (d.h. eines bestimmten Koordinatensystems). Sie sind aber trotz dieser Abhängigkeit für die kompakte Notation in der ART unerläßlich. Die nennt man kontravariante Indizes, die kovariante.

Einfache Beispiele von Tensoren sind Vektoren, Linearformen und Matrizen, sie entsprechen Tensoren vom Typ , bzw. .

Unter einer Koordinatentransformation transformieren sich Tensorkomponenten wie

Ein Skalar S ist durch gekennzeichnet. Hier wurde die Einsteinsche Summationskonvention verwendet: Über doppelt auftretende Indizes wird summiert. Dieser Formel kann man den wichtigen Sachverhalt entnehmen, daß ein Tensor, dessen sämtliche Komponenten in einem Koordinatensystem verschwinden, in keinem Koordinatensystemen eine von 0 verschiedene Komponente haben kann.

Es gibt außerdem eine Reihe von Operatoren, die Tensoren in Tensoren überführen: Die einfache Addition bzw. Subtraktion , das äußere Produkt und die Kontraktion . Die Hintereinanderausführung von äußerem Produkt und Kontraktion bezeichnet man als Überschiebung.

Die Metrik vermittelt einen Isomorphismus zwischen einem Vektorraum und seinem Dualen und kann so durch Überschiebung kontravariante Komponenten in kovariante überführen. Die mit bezeichnete zu inverse Metrik (d.h. ) überführt kovariante in kontravariante, z.B. .

Als nächstes muß man eine Differentiationsvorschrift angeben, die Tensoren in Tensoren überführt. Die gewöhnliche partielle Ableitung leistet dieses nicht, da das Ergebnis i.a. kein Tensor ist, was man am Transformationsverhalten sehen kann. Stattdessen führt man die durch die Metrik gegebene kovariante Ableitung ein, die - in - Tensoren überführt und mit einem Semikolon gekennzeichnet wird. Sie ist linear und erfüllt die Leibnitz-Regel. Zu ihrer Definition benötigt man die durch

definierten Christoffel-Symbole, die keine Tensoren sind und so vom Koordinatensystem abhängen. Mit diesen Größen ist nun

und allgemein

wobei jeweils mit der i-ten Stelle überschoben wird. Für einen Skalar stimmen kovariante und gewöhnliche partielle Ableitung überein. Wie man der Definition der Christoffel-Symbole entnehmen kann, ist die Metrik außerdem kovariant konstant:

Die kovariante Ableitung ist für den Begriff der Parallelität in einem Riemannschen Raum entscheidend: Ein Tensor heißt parallelverschoben entlang einer Kurve mit dem Tangentenvektor , wenn längs der Kurve

gilt. Kurven mit heißen Autoparallelen oder Geodäten.

Um die Krümmung eines Raumes invariant beschreiben zu können, führt man den Riemannschen Krümmungstensor

ein. Er ist durch die Symmetrien , , gekennzeichnet und erfüllt die Bianchi-Identität .

Die kontrahierte Form

bezeichnet man als Ricci-Tensor und

als Ricci-Skalar. Man kann den Krümmungstensor auch über die Beziehung einführen, was für jedes Vektorfeld gelten soll. Er ist also ein Maß für die Nichtvertauschbarkeit von kovarianten Ableitungen. Der Minkowski-Raum hat gerade die Eigenschaft, daß er flach ist, d.h. verschwindet in einem solchen Raum.

Schließlich sei noch die folgende Definition angegeben:

Entsprechend bezeichnet man eine Kurve als zeit-, licht- oder raumartig, wenn ihr Tangentenvektor diese Eigenschaft in jedem Punkt hat.

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART)

Der ART liegt als physikalischer Kern das sogenannte starke Äquivalenzprinzip zugrunde:

Lokal ist es physikalisch unentscheidbar, ob ein System in einem Gravitationsfeld ruht oder ob es in einem feldfreien Raum beschleunigt ist.

Das schwache Äquivalenzprinzip behauptet dies für die Gesetze der klassischen Mechanik, was der Äquivalenz (genauer gesagt der Proportionalität) von schwerer und träger Masse entspricht.

Auf diese Weise kann man die Schwerkraft als eine geometrische Eigenschaft des Raums ansehen. Ein in einem Gravitationsfeld frei fallender Körper, dessen Eigengravitation vernachlässigbar ist (ein ,,Testteilchen``), spürt in dieser Sichtweise keine (Gravitations-) Kraft, sondern bewegt sich auf einer ausgezeichneten Bahn des Raums. Dessen geometrischen Eigenschaften sind durch das Gravitationsfeld aller Teilchen bestimmt. Die Bahnen sind die oben definierten zeitartigen Geodäten, da sie in gewissem Sinne Kurven minimaler Länge sind (genauer gesagt Kurven maximaler Eigenzeit) und daher die natürliche Verallgemeinerung der geraden Linie als kürzester Verbindung zweier Punkte darstellen. Für diese Bahnen mit dem Tangentenvektor gilt daher , d.h. man erhält die Bewegungsgleichung

Die Materie wird in der ART durch den Energie-Impuls-Tensor beschrieben. Dessen Eigenschaften kann man mit Hilfe einer kovarianten Zerlegung beschreiben:

Die Größe

kann man als Projektionstensor auf den zu orthogonalen Unterraum verstehen. Diese Größen haben in dem durch spezifizierten Ruheraum eines Beobachters eine physikalische Bedeutung: läßt sich als Energiedichte interpretieren, P als (isotroper) Druck, ist die Vierer-Energiestromdichte und der anisotrope Druck. Sie lassen sich über

aus gewinnen. Eine ideale Flüssigkeit ist z.B. durch

gekennzeichnet. Man kann außerdem zeigen, daß die Gleichung als Energieerhaltung interpretiert werden kann.

Um den Einfluß der Materie auf die Geometrie des Raumes zu beschreiben, liegt es nahe, mit der Metrik und dem Riemannschen Krümmungstensor, der erste und zweite Ableitungen von enthält, in Beziehung zu setzen. Dabei soll gewährleistet sein. Die allgemeinste Relation dieser Art, die linear in den zweiten Ableitungen von ist, lautet

mit und einem Kopplungsparameter . Dieses ist (aufgrund der Symmetrie der Komponenten) ein System aus 10 gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die man als Einsteinsche Feldgleichungen oder einfach als Feldgleichungen bezeichnet. Das Verschwinden von folgt dabei direkt aus der Bianchi-Identität aus dem vorigen Abschnitt. Den Tensor

nennt man Einstein-Tensor. Man kann zeigen, daß die Einsteinschen Feldgleichungen in erster Näherung die Newtonsche Gravitationstheorie in Form der Poisson-Gleichung für das Gravitationspotential liefern, wenn man als Kopplungsparameter

ansetzt. In dieser Arbeit werden Einheiten mit G = c = 1 (und ) benutzt, so daß von nun an ist.

Die Größe heißt kosmologische Konstante. Aus astronomischen Beobachtungen weiß man, daß nicht größer als ist, was in Planck-Einheiten einer dimensionslosen Größe von etwa entspricht. Der Einfluß der kosmologischen Konstante ist also vernachlässigbar klein, so daß man üblicherweise setzt. Möglicherweise hat allerdings in der extremen Frühphase des Universums eine wichtige Rolle gespielt.

www.frwagner.de	fw @ frwagner.de