Das Kosmologische Standardmodell

Die Aufgabe, die Struktur und Entwicklung des gesamten Universums zu ergründen, scheint schon deshalb ein hoffnungsloses Unterfangen zu sein, weil wir nur einen räumlich und zeitlich äußerst kleinen Teil davon direkt beobachten können. Außerdem liegt das Universum (definitionsgemäß) nur einmal vor und kann nicht von ,,außerhalb`` analysiert werden, was einen erheblichen erkenntnistheoretischen Unterschied zu allen anderen Bereichen der Physik bedeutet.

Die einzige Möglichkeit scheint darin zu bestehen, einfache Grundannahmen zu machen, deren Implikationen dann mit Hilfe der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) und den uns zur Verfügung stehenden beobachtenden Mitteln überprüft und später verfeinert werden können. Diese Annahmen können dabei aus grundlegenden Beobachtungen motiviert sein (z.B. der Beobachtung des Sternenhimmels) oder einem eher philosophischen Hintergrund entspringen. Auf ein Prinzip, das praktisch den Begriff ,,Naturgesetz`` konstituiert, kann man dabei nicht verzichten: Die Naturgesetze und Naturkonstanten sind an allen Orten und zu allen Zeiten gleich. Daß man auf diese Weise überhaupt ein konsistentes Bild des Universums erhält, ist dabei keineswegs von vorneherein sichergestellt.

Kosmologisches Prinzip und Robertson-Walker-Metrik

Tatsächlich gelangt man aber mit den beiden folgenden einfachen Annahmen zu einem Modell, dem kosmologischen Standardmodell, das sich in der Beschreibung der großräumigen Strukturen des Universums als bemerkenswert gut herausgestellt hat und viele Beobachtungen in natürlicher Weise erklären kann. Die Annahmen, die zusammengenommen als kosmologisches Prinzip bezeichnet werden, sind

• Homogenität
  Das Universum ist auf großen Skalen gleichförmig, kein Punkt ist ausgezeichnet.

• Isotropie
  Das Universum sieht in jeder Richtung gleich aus.

Die erste Annahme drückt aus, daß unser Standort im Universum nicht vor anderen ausgezeichnet ist, was ein eher weltanschauliches Prinzip ist und auch Kopernikanisches Prinzip genannt wird. Die zweite Annahme gründet sich vor allem auf Beobachtungen der großräumigen Verteilung der Galaxien und der noch zu besprechenden Mikrowellen-Hintergrundstrahlung, die bis auf eine relative Abweichung von ca. völlig isotrop ist.

Diese intuitiven Formulierungen lassen sich mathematisch präzisieren:

• Homogenität: Die Raumzeit besitzt eine Foliation aus einer einparametrigen Familie von raumartigen Hyperflächen , so daß es für jedes t und zwei Punkte eine Isometrie der Raumzeitmetrik gibt, die P und Q ineinander überführt.

• Isotropie: Es gibt eine Kongruenz von zeitartigen Kurven mit Tangentenvektoren , die die Raumzeit ausfüllen und die folgende Eigenschaft haben: Zu jedem Punkt P und zwei (raumartigen) Vektoren und am Punkt P, die orthogonal zu sind, gibt es eine Isometrie der Raumzeitmetrik, die und ineinander überführt, ohne P und zu verändern. Man kann also keinen geometrisch ausgezeichneten Vektor konstruieren, der orthogonal zu ist.

In einem homogenen und isotropen Universum sind die Homogenitäts - Hyperflächen orthogonal zu den Tangenten der Weltlinienkongruenz.

Die Geometrie dieser dreidimensionalen Hyperflächen soll nun etwas präzisiert werden. Ein homogener isotroper Raum mit der Metrik ist ein Raum konstanter Krümmung mit dem Krümmungstensor

und dem Linienelement

mit . Dabei ist eine beliebige positive Funktion, die Skalenparameter (oder auch Weltenradius) genannt wird. Gemäß dem Wert von k spaltet sich der Raum in drei verschiedene Typen auf. Für k = - 1 liegt ein Raum konstanter negativer Krümmung vor, k = 0 entspricht einem flachen Raum, und der durch k = 1 gegebene Raum ist endlich und hat eine konstante positive Krümmung. Die Universen heißen entsprechend offen, flach oder geschlossen. Aus astronomischen Beobachtungen und vor allem aus theoretischen Gründen glaubt man heute, daß unser Universum praktisch flach ist.

Wegen der Orthogonalität von und (den Tangenten der Weltlinienkongruenz) kann das Linienelement der vierdimensionalen Raumzeit keine gemischten Terme von Zeit- und Ortsdifferentialen enthalten. Es lautet daher

Diese Metrik heißt Robertson-Walker-Metrik, sie ist die Grundlage des Kosmologischen Standardmodells. Die Zeitentwicklung der Funktion als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen soll im nächsten Abschnitt behandelt werden.

Die Zeitentwicklung der Robertson-Walker-Metrik

Den beiden Grundannahmen der Homogenität und Isotropie muß man noch eine Annahme hinzufügen, wenn die Zeitentwicklung des Universums betrachtet werden soll:

Die großräumigen Strukturen des Universums werden nur durch Gravitationskräfte beeinflußt.

Wegen der Kurzreichweitigkeit der Kernkräfte und der weitgehenden Neutralisierung der elektrischen Ladungen auf großen Skalen ist dies eine sehr plausible Annahme. Wenn man die ART voraussetzt, ergeben sich daraus zwei Folgerungen:

• Testteilchen (d.h. Teilchen mit vernachlässigbarer Eigengravitation) mit Viererimpulsen bewegen sich auf Geodäten:

  

• Materie und Metrik sind durch die Einsteinschen Feldgleichungen

  

  miteinander verknüpft. Wegen der Homogenität und Isotropie können außerdem keine Energieströme und kein anisotroper Druck auftreten. Die Materie liegt daher in Form einer idealen Flüssigkeit vor:

  

Die Feldgleichungen implizieren somit

wobei der Punkt die Ableitung nach t abkürzen soll. Wenn die Zustandsgleichung, die und P miteinander in Beziehung setzt, bekannt ist, kann man so eine Lösung für und für und gewinnen.

Die erste Gleichung kann man als Bilanzgleichung zur Erhaltung der Energie interpretieren.

Durch Differentiation der zweiten Gleichung erhält man

Für , was aus physikalischen Gründen immer erfüllt sein sollte, ist also . Das Universum kann daher nicht statisch sein, es expandiert () oder kontrahiert (). Dieses geschieht in dem Sinne, daß sich der typische Abstand zweier freifallender Systeme (z.B. Galaxien) vergrößert oder verkleinert. Es gibt aber kein ausgezeichnetes Zentrum der Expansion bzw. Kontraktion.

Im Jahre 1929 entdeckte E. Hubble mit Hilfe der Rotverschiebung, daß sich alle (zumindest alle entfernteren) Galaxien von uns weg bewegen, und zwar mit einer Geschwindigkeit, die proportional zu ihrer Entfernung ist. Dieses ist ein eindrucksvoller Beleg für die gegenwärtige Expansion des Universums und das kosmologische Standardmodell überhaupt. Genau dieses Bild müßte sich nämlich jedem Beobachter im Universum bieten: Wenn der Abstand zu einer Galaxie zum Zeitpunkt t ist, gilt offensichtlich . Die Größe wird als Hubble-Parameter H bezeichnet.

Wenn die Expansion zu allen Zeiten gleich schnell ablief, ist und somit . Dieses führt zu dem Ergebnis, daß vor einem endlich langen Zeitraum der Skalenparameter a gleich 0 war, was einem unendlich dichten und heißen Universum entspricht und gemeinhin als Urknall oder ,,big bang`` bezeichnet wird. Wegen kann dieser Zeitraum höchstens kleiner als sein. Aus der erwähnten Galaxienflucht kann man die heutige Größe von H auf Werte zwischen und eingrenzen, was zu einem maximalen Weltalter von 10 bis 25 Milliarden Jahren führt. Dies stimmt recht gut mit den ältesten bekannten Sternen überein, deren Alter auf maximal 20 Milliarden Jahren geschätzt wird.

Um exakte Lösungen der Feldgleichungen formulieren zu können, sollen zwei wichtige Spezialfälle betrachtet werden: Das Strahlungsuniversum mit und das Staubuniversum mit P = 0. Während für unsere Epoche das Staubuniversum ein sehr gutes Modell ist, glaubt man, daß zu früheren Zeiten Materie in Form von Strahlung vorherrschend war. In einem flachen Robertson-Walker-Universum ergibt sich

Während das offene Modell (k = -1) eine qualitativ ähnliche Zeitentwicklung besitzt, kommt es in dem geschlossenen (k = 1) nach einer gewissen Zeit zu einem Ende der Expansion und dann zu einer Kontraktion, die in einem dem Urknall analogen Zustand mit a = 0 (dem ,,big crunch``) mündet. Für zeigen aber alle Modelle das gleiche Verhalten.

Die Physik des Urknallmodells

In diesem Abschnitt soll skizziert werden, welche Schlußfolgerungen man aus der Annahme ziehen kann, daß die uns bekannte Physik auch im frühen Universum Bestand hatte. Das Vertrauen dafür, sich so dem Urknall bis auf oder gar weniger Sekunden zu nähern, gründet sich dabei auf die Tatsache, daß die Mikrophysik unterhalb der Temperaturen, die nach dem kosmologischen Standardmodell nach dieser Zeit herrschen, recht gut bekannt und im Labor testbar ist, wenn keine Gravitationseffekte auftreten. Die Gravitationswechselwirkung ist aber gegenüber den anderen Grundkräften der Natur um viele Größenordnungen kleiner. Außerdem scheinen die wenigen nachprüfbaren Konsequenzen (siehe unten) dieses Modell zu bestätigen.

Wie man an den Friedmann-Lösungen (1.4), (1.5) sieht, steigt die Energiedichte der Strahlung stärker als die der Staubmaterie an, wenn a gegen 0 geht. Zu frühen Zeiten war daher Strahlung mit die dominierende Materieform, und für die Temperatur erhält man aufgrund des Stefan-Boltzmann-Gesetzes die Beziehung . Zu sehr kleinen Zeiten muß die Temperatur so groß gewesen sein, daß Paarerzeugungsprozesse auch für massive Teilchen mit den entsprechenden Zerfallsprozessen im Gleichgewicht waren. Mit fallender Temperatur konnten dann schwere Teilchen nicht mehr erzeugt werden, und immer mehr Teilchen traten aus dem thermischen Gleichgewicht aus.

So glaubt man, daß das Universum zunächst aus einem extrem dichten und heißen Plasma relativistischer Teilchen bestand, in dem Quarks, Leptonen und Eichbosonen mitsamt ihren Antiteilchen im thermischen Gleichgewicht waren. Der Zustand noch vor dieser Phase, in dem Quanteneffekte wichtig waren, ist Untersuchungsgegenstand der Quantenkosmologie. Deren Status als physikalische Theorie ist aber schon wegen der Ermangelung einer quantenmechanischen Gravitationstheorie mehr als zweifelhaft. Auch auf die Theorie des ,,inflationären Universums`` soll hier nicht eingegangen werden. Sie sagt eine kurzzeitige exponentielle Expansion des Universums etwa nach dem Urknall voraus, die aus einer nichtverschwindenden kosmologischen Konstante resultiert.

Unterhalb einer Temperatur von etwa , und somit etwa nach dem Urknall, konnten sich dann stabile Hadronen bilden, und das Universum bestand praktisch ausschließlich aus Neutrinos, Antineutrinos, Photonen, Elektronen, Positronen, Myonen, Antimyonen und einer kleinen Menge von Protonen und Neutronen im thermischen Gleichgewicht.

Nach etwa und bei Temperaturen von konnten keine Myonen-Antimyonen-Paare mehr erzeugt werden, so daß diese zerstrahlten. Dadurch wurde die Wechselwirkung der Neutrinos mit den anderen Teilchen so klein, daß sie aus dem Gleichgewicht entkoppelten und sich nach etwa praktisch frei entwickelten. Diese Neutrinos müßte man auch heute noch als eine auf etwa abgekühlte Schwarzkörperstrahlung messen können. Aufgrund der extrem kleinen Wechselwirkung der Neutrinos mit anderer Materie wird dieses aber in naher Zukunft nicht möglich sein.

Nach etwa und bei zerstrahlten Elektronen und Positronen in Photonen, wobei alle Positronen und der Großteil der Elektronen vernichtet wurden. Durch die Zerstrahlungsenergie erhielten die Photonen dabei eine um den Faktor 1.4 höhere Temperatur als die Neutrinos.

Als die Temperatur unter fiel, was nach etwa 3 Minuten der Fall war, konnten sich in komplizierten Prozessen stabile Atomkerne wie , , , usw. bilden. Nur stellte aber mit ca. 25 Prozent einen nennenswerten Anteil an der Gesamtmasse der Materie, die sonst praktisch nur aus Protonen bestand. Die Tatsache, daß dieses theoretisch berechnete Massenverhältnis, das durch spätere Prozesse (z.B. Nukleosynthese in Sternen) nur minimal verändert werden konnte, mit dem heute beobachteten Verhältnis in Übereinstimmung ist, bildet eine der Hauptstützen des heißen Urknallmodells.

Die als Rekombination bezeichnete Bildung von neutralem Wasserstoff aus Protonen und Elektronen fand nach etwa Jahren bei Temperaturen von statt. Da die Photonen danach nicht mehr an freien Elektronen oder Ionen gestreut werden konnten, kam es so zu einer Abkopplung der Photonen, das Universum wurde ,,durchsichtig``. Das Universum müßte heute also mit einer Schwarzkörperstrahlung von Photonen gefüllt sein, die sich seit der Rekombination frei entwickelten. Genau diese 1948 von G. Gamov vorhergesagte Mikrowellen-Hintergrundstrahlung wurde 1965 zufällig von A.A. Penzias und R.W. Wilson entdeckt, was ihnen bekanntlich den Nobelpreis einbrachte. Sie ist über den gesamten Himmel praktisch isotrop. Nach neuesten Messungen beträgt der relative Temperaturunterschied etwa (tatsächlich mißt man zusätzlich einen Dipolanteil mit einer Temperaturanisotropie von etwa , der aus der Relativbewegung der Erde zum Mikrowellenhintergrund resultiert). Damit stellt sie das vielleicht wichtigste Indiz für das kosmologische Standardmodell dar, insbesondere für die Grundannahme der Isotropie.

Nach der Rekombination konnten sich kleine Inhomogenitäten zu Galaxien und Sternen entwickeln. Die dazu notwendigen Inhomogenitätsskalen sind allerdings nicht mit der hohen Isotropie der Hintergrundstrahlung vereinbar. Dieses stellt eines der größten Probleme der heutigen Kosmologie dar, das auch durch das mögliche Vorhandensein von nichtbaryonischer Materie (,,dark matter``) noch nicht befriedigend gelöst werden konnte.

Nach etwa Jahren wurde dann der Energiebeitrag der Baryonen größer als der der Strahlung. Das Universum wurde Staub-dominiert, was es bis heute geblieben ist.

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